Question

如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為2，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對角BD折起，得到三棱錐A-BCD．
（1）求證：平面AOC⊥平面BCD；
（2）若三棱錐A-BCD的體積為，求AC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據可得由正方形的性質可得AO⊥BD以及BD⊥CO，根據線面垂直的判定定理，可得AO⊥平面BCD，進而得到結論．
（2）先根據三棱錐的體積求出棱錐的高，再分二面角為鈍角和銳角兩種情況分別求出AC的長即可．
解答：（本小題滿分14分）
解：（1）證明：因為ABCD是正方形，
所以BD⊥AO，BD⊥CO．…（1分）
在折疊后的△ABD和△BCD中，
仍有BD⊥AO，BD⊥CO．…（2分）
因為AO∩CO=O，所以BD⊥平面AOC．…（3分）
因為BD?平面BCD，
所以平面AOC⊥平面BCD．…（4分）
（2）解：設三棱錐A-BCD的高為h，
由于三棱錐A-BCD的體積為，
所以．…（5分）
因為，所以．…（6分）
以下分兩種情形求AC的長：
①當∠AOC為鈍角時，如圖，過點A作CO的垂線交CO的延長線于點H，
由（1）知BD⊥平面AOC，所以BD⊥AH．
又CO⊥AH，且CO∩BD=O，所以AH⊥平面BCD．
所以AH為三棱錐A-BCD的高，即．…（7分）
在Rt△AOH中，因為，
所以=．…（8分）
在Rt△ACH中，因為，
則．…（9分）
所以．…（10分）
②當∠AOC為銳角時，如圖，過點A作CO的垂線交CO于點H，
由（1）知BD⊥平面AOC，所以BD⊥AH．
又CO⊥AH，且CO∩BD=O，所以AH⊥平面BCD．
所以AH為三棱錐A-BCD的高，即．…（11分）
在Rt△AOH中，因為，
所以=．…（12分）
在Rt△ACH中，因為，
則．…（13分）
所以．
綜上可知，AC的長為或．…（14分）
點評：本題主要考察面面垂直的判定以及線段長度的計算．一般在證明面面垂直時，常轉化為證線線垂直，得線面垂直，進而得到結論．