Question

如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是線段EF的中點．
（1）證明：CM∥平面DFB
（2）求異面直線AM與DE所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）設正方形的對角線AC和BD相交于點O，由條件證明MF和CO平行且相等，四邊形COFM為平行四邊形，故CM∥OF，再由直線和平面平行的判定定理證得 CM∥平面DFB．
（2）建立空間直角坐標系，求得點C、點A、點E、，點D、點M的坐標，可得

AM

和

DE

的坐標，以及|

AM

|、|

DE

|和

AM

•

DE

的值．再利用兩個向量的夾角公式求得

AM

、

DE

的夾角θ 的余弦值，再取絕對值，即得所求．

解答：解：（1）設正方形的對角線AC和BD相交于點O，∵M為的中點，ACEF為矩形，故MF和CO平行且相等，
故四邊形COFM為平行四邊形，故CM∥OF，
而OF?平面DFB，CM不在平面DFB內，∴CM∥平面DFB．
（2）以點C為原點，CD為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標系，則點C（0，0），點A（

2

，

2

，0），點E（0，0，1），
點D（

2

，0，0），點M（

2

2

，

2

2

，1），
∴

AM

=（-

2

2

，-

2

2

，1），

DE

=（-

2

，0，1），|

AM

|=

2

，|

DE

|=

3

，

AM

•

DE

=1+0+1=2．
設

AM

、

DE

的夾角為θ，cosθ=

AM • DE

|AM |•| DE |

=

2

2 • 3

=

6

3

，故異面直線AM與DE所成的角的余弦值為

6

3

．

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應用，求異面直線所成的角的余弦值，兩個向量的夾角公式的應用，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．