Question

中心在原點的雙曲線C₁的一個焦點與拋物線C₂：y²=8x的焦點F重合，拋物線C₂的準線l與雙曲線C₁的一個交點為A，且|AF|=5．
（Ⅰ）求雙曲線C₁的方程；
（Ⅱ）若過點B（0，1）的直線m與雙曲線C₁相交于不同兩點M，N，且

.

MB

=λ

.

BN

．
①求直線m的斜率k的變化范圍；
②當直線m的斜率不為0時，問在直線y=x上是否存在一定點C，使

.

OB

⊥（

.

CM

-λ

.

CN

）？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設所求雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），直線l與x軸交于F′，根據|AF|=5，|FF′|=4，能夠求出所求的雙曲線方程．
（Ⅱ）設直線m：y=kx+1，代入x²-

y2

3

=1得，（3-k²）x²-2kx-4=0，由直線m與曲線C₁交于兩點M，N，能求出-2＜k＜-

3

，或-

3

＜k＜

3

，或

3

＜k＜2．設M，N的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），得

x1+x2= -2k k2-3 x1x2= 4 k2-3

，由

MB

=λ

BN

，得（-x₁，1-y₁）=λ（x₂，y₂-1），所以x₁=-λx₂，由此入手能夠求出存在點C（-3，-3），滿足要求．

解答：解：（Ⅰ）由條件得F（2，0），l：x=-2．
設所求雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
直線l與x軸交于F′，根據|AF|=5，|FF′|=4，
得|AF′|=3，
從而

c=2 b2 a =3

．
解得a=1，b=

3

．從而所求的雙曲線方程為：x²-

y2

3

=1；

（Ⅱ）①設直線m：y=kx+1，代入x²-

y2

3

=1得，
（3-k²）x²-2kx-4=0，
∵直線m與曲線C₁交于兩點M，N．
∴

3-k2≠0 (-k)2+4(3-k2)＞0

，
解得-2＜k＜-

3

，或-

3

＜k＜

3

，或

3

＜k＜2．
②設M，N的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由上面可得

x1+x2= -2k k2-3 x1x2= 4 k2-3

，
由

MB

=λ

BN

，得（-x₁，1-y₁）=λ（x₂，y₂-1），
∴x₁=-λx₂，
設存在點C（t，t），
則

CM

-λ

CN

=(x1-t，y1-t)-λ(x2-t，y2-t)
=（x₁-λx₂+t（λ-1），y₁-λy₂+t（λ-1）），
又

OB

=(0，1)，從而由

OB

⊥(

CM

-λ

CN

)，
得y₁-λy₂+t（λ-1）=0．
因直線m的斜率不為零，故λ≠1．
所以解得t=

y1-λy2

1-λ

=

kx1+1-λ(kx2+1)

1-λ

=1+k?

x1-λx2

1-λ

．
因為λ=-

x1

x2

，代入得t=1+k?

2x1x2

x1+x2

，
因為

x1+x2= -2k k2-3 x1x2= 4 k2-3

，
代入得t=-3，即存在點C（-3，-3），滿足要求．

點評：通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．本題綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．