Question

已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F₁（-3，0），一條漸近線的方程是

5

x-2y=0．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）若以k（k≠0）為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個不同的點M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為

81

2

，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出雙曲線方程，根據焦點坐標及漸近線方程求出待定系數，即得雙曲線C的方程．
（2）設出直線l的方程，代入雙曲線C的方程，利用判別式及根與系數的關系求出MN的中點坐標，從而得到線段MN的垂直平分線方程，通過求出直平分線與坐標軸的交點，計算圍城的三角形面積，由判別式大于0，求得k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）解：設雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）．
由題設得

a2+b2=9 b a = 5 2

，解得

a2=4 b2=5

，所以雙曲線方程為

x2

4

-

y2

5

=1．
（Ⅱ）解：設直線l的方程為y=kx+m（k≠0）．
點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的坐標滿足方程組

y=kx+m x2 4 - y2 5 =1

將①式代入②式，得

x2

4

-

(kx+m)2

5

=1，整理得（5-4k²）x²-8kmx-4m²-20=0．
此方程有兩個不等實根，于是5-4k²≠0，且△=（-8km）²+4（5-4k²）（4m²+20）＞0．
整理得m²+5-4k²＞0． ③
由根與系數的關系可知線段MN的中點坐標（x₀，y₀）滿足x0=

x1+x2

2

=

4km

5-4k2

，y0=kx0+m=

5m

5-4k2

．
從而線段MN的垂直平分線方程為y-

5m

5-4k2

=-

1

k

(x-

4km

5-4k2

)．
此直線與x軸，y軸的交點坐標分別為(

9km

5-4k2

，0)，(0，

9m

5-4k2

)．
由題設可得

1

2

|

9km

5-4k2

|•|

9m

5-4k2

|=

81

2

．
整理得m2=

(5-4k2)2

|k|

，k≠0．
將上式代入③式得

(5-4k2)2

|k|

+5-4k2＞0，整理得（4k²-5）（4k²-|k|-5）＞0，k≠0．
解得0＜|k|＜

5

2

或|k|＞

5

4

．
所以k的取值范圍是(-∞，-

5

4

)∪(-

5

2

，0)∪(0，

5

2

)∪(

5

4

，+∞)．

點評：本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理運算能力．