Question

在正三棱錐P-ABC中，M，N分別是PB，PC的中點，若截面AMN⊥側面PBC，則此棱錐截面與底面所成的二面角正弦值是

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．

Answer 1

分析：取MN和BC的中點分別為E，F，可以證明BC∥截面AMN，設截面AMN∩平面ABC=l，從而BC∥l，故可知∠EAF為所作的二面角，從而可求棱錐截面與底面所成的二面角正弦值．

解答：解：取MN和BC的中點分別為E，F，
∵M，N分別是PB，PC的中點，
∴MN∥BC
∵MN?截面AMN
∴BC∥截面AMN
設截面AMN∩平面ABC=l
∴BC∥l
∵E，F分別為MN和BC的中點
∴AE⊥MN，AF⊥BC
∴∠EAF為所作的二面角的平面角，
設AB=a，∵截面AMN⊥側面PBC，∴側棱PA=PB=PC=

3

2

a，∴DF=

2

2

a，∴EF=

2

4

a
在直角△AEF中，AF=

3

2

a，EF=

2

4

a
∴sin∠EAF=

6

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故答案為：

6

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點評：本題考查二面角的作法與計算，解題的關鍵是正確作出面面角、