Question

（2012•溫州一模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，且BD：DC：AD=2：3：6．
（Ⅰ）求∠BAC的大小；
（Ⅱ）已知△ABC的面積為15，且E為AB的中點，求CE的長．

Answer 1

分析：（I）根據直角三角形中正切的定義，得到tan∠DAC=

1

2

且tan∠DAC=

1

3

，利用和的正切公式算出tan∠BAC=1，從而得到∠BAC的大小為

π

4

；
（II）根據三角形的面積公式，結合BD：DC：AD=2：3：6算出BD=2、DC=3、AD=6，從而得到AB、AC之長，最后利用三角形中線的性質即可算出CE的長．

解答：解：（I）∵AD⊥BC，DC：AD=3：6
∴Rt△ACD中，tan∠DAC=

3

6

=

1

2

同理可得Rt△ABD中，tan∠DAC=

1

3

因此，tan∠BAC=

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=1
∵∠BAC∈（0，π），∴∠BAC的大小

π

4

；
（II）設BD=2t（t＞0），則DC=3t，AD=6t
由已知得△ABC的面積S=

1

2

BC•AD=15t²=15，解之得t=1
故BD=2，DC=3，AD=6
∴AB=

AD2+BD2

=2

10

，AC=

AD2+CD2

=3

5

∵CE是△ABC的中線
∴AB²+（2CE）²=2（AC²+BC²），
可得（2

10

）²+4CE²=2[（3

5

）²+5²]，解之得CE=5．

點評：本題給出三角形ABC滿足的條件，求角的大小和邊的長．著重考查了直角三角形中三角函數的定義、三角形中線的性質等知識，屬于中檔題．