Question

某廠生產一種機器的固定成本為0.5萬元，但每生產1百臺，需增加投入 0.25萬元．市場對此產品的年需求量為5百臺（即產量多于5百臺時，由于市場需求只能售出5百臺，但一直要照常增加投入成本）．則當售出x百臺時，收入（萬元）為x的函數：R（x）=5x-

x2

2

，0≤x≤5．請解答：
（1）分別寫出成本函數C（x）；
（2）把利潤表示為年產量的和函數L（x）；
（3）年產量是多少時，工廠所得利潤最大？

Answer 1

分析：（1）生產一種機器的固定成本為0.5萬元，每生產1百臺，需增加投入 0.25萬元，由此能求出當產量為x百臺時，成本函數C（x）．
（2）由市場對此產品的年需求量為5百臺，當x≤5時，產品能售出x臺，x＞5時，只能售出5百臺，由此能求出利潤函數．
（3）由（2）知：當0≤x≤5時，L（x）=4.75x-

x2

2

-0.5，當x＞5時，L（x）=12-0.25，由此能求出工廠所得利潤最大時的年產量．

解答：解：（1）∵生產一種機器的固定成本為0.5萬元，每生產1百臺，需增加投入 0.25萬元，
∴當產量為x百臺時，成本函數C（x）=0.5+0.25x，x＞0．…（2分）
（2）∵市場對此產品的年需求量為5百臺，
∴當x≤5時，產品能售出x臺，x＞5時，只能售出5百臺，故利潤函數為：
L（x）=R（x）-C（x）=

(5x- x2 2 )-(0.5+0.25x)，0≤x≤5 (5×5- 52 2 )-(0.5+0.25x)，x＞5

=

4.75x- x2 2 -0.5，0≤x≤5 12-0.25x，x＞5

．…（8分）
3）當0≤x≤5時，L（x）=4.75x-

x2

2

-0.5，
當x=4.75時，得L（x）_max=L（4.75）=10.8萬元；…（10分）
當x＞5時，L（x）=12-0.25，利潤在12-0.25×5=10.75萬元以下，
故生產475臺時利潤最大．…（12分）

點評：本題考查函數在生產生活中的實際應用，解題時要認真審題，注意分析題設條件中的數量關系，合理地進行等價轉化．