Question

已知二階矩陣M=

1?b c?1

，矩陣M對應的變換將點（2，1）變換成點（4，-1）．求矩陣M將圓x²+y²=1變換后的曲線方程．

Answer 1

分析：先根據矩陣M對應的變換將點（2，1）變換成點（4，-1），建立二元一次方程組求出矩陣M，然后建立點圓x²+y²=1上的任意一點P（x，y），變換后的點為P'（x'，y'）的關系，將點P（x，y）的坐標代入圓的方程即可求出．

解答：解：由已知得M

2 1

=

4 -1

，即

1 b c 1

2 1

=

4 -1

∴

2+b=4 2c+1=-1

，解得

b=2 c=-1

∴M=

1 2 -1 1

設點P（x，y）是圓x²+y²=1上的任意一點，變換后的點為P'（x'，y'）
則M

x y

=

x′ y′

，
所以

x′=x+2y y′=-x+y

從而

x= 1 3 (x′-2y′) y= 1 3 (x′+y′)

代入x²+y²=1得（x'-2y'）²+（x'+y'）²=9
化簡得2x²-2xy+5y²-9=0

點評：本題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運算求解能力及化歸與轉化思想．