Question

橢圓

x2

12

+

y2

b2

=1(0＜b＜2

3

)與漸近線為x±2y=0的雙曲線有相同的焦點F₁，F₂，P為它們的一個公共點，且∠F₁PF₂=90°，則橢圓的離心率為（　　）

• A、

  6

  6

• B、

  21

  6

• C、

  30

  6

• D、

  15

  6

Answer 1

分析：由漸近線為x±2y=0，得出雙曲線中的實軸長與半焦距的關系a²=

4c2

5

，再結合橢圓和雙曲線的定義，列出關于PF₁，PF₂，F₁F₂的關系式，解出c的值，代入離心率公式計算．

解答：解：設F₁F₂=2c，在雙曲線中，

b

a

=

1

2

，a²+b²=c²，得a²=

4c2

5

．不妨設p在第一象限，則由橢圓的定義得PF₁+PF₂=4

3

，由雙曲線的定義得PF₁-PF₂=2a=

4

5

c又∠F₁PF₂=90°∴PF₁²+PF₂²=4c²∴48+

16

5

c2=8c²，解c=

10

，∴e=

c

a

=

10

2 3

=

30

6

．
故選C

點評：本題是橢圓和雙曲線結合的好題．要充分認識到PF₁，PF₂，F₁F₂在兩曲線中的溝通作用．