Question

本題有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題計分
（1）二階矩陣M對應的變換將向量

1 -1

，

-2 1

分別變換成向量

3 -2

，

-2 1

，直線l在M的變換下所得到的直線l′的方程是2x-y-1=0，求直線l的方程．
（2）過點P（-3，0）且傾斜角為30°的直線l和曲線C：

x=s+ 1 s y=s- 1 s

（s為參數）相交于A，B兩點，求線段AB的長．
（3）若不等式|a-1|≥x+2y+2z，對滿足x²+y²+z²=1的一切實數x，y，z恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出二階矩陣M，由矩陣的乘法得到關于a、b、c、d的方程組，解方程組可求出M．再設點P（x，y）是直線l上任一點，在M變換下對應的點為P′（x₀，y₀），由矩陣的乘法得到x、y、x₀、y₀之間的關系，用x、y表示出x₀、y₀，代入已知直線方程即可．
（2）

x=s+ 1 s y=s- 1 s

消去s得x與y的方程，與直線方程聯立，由弦長公式求弦長即可．
（3）不等式|a-1|≥x+2y+2z恒成立，只要|a-1|≥（x+2y+2z）max，利用柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²
求出x+2y+2z的最大值，再解關于a的絕對值不等式即可．

解答：解：（1）設M=

a b c d

，則由題知

a b c d

1 -1

=

3 -2

，

a b c d

-2 1

=

-2 -1

所以

a-b=3 c-d=-2 -2a+b=-2 -2c+d=-1

，解得

a=-1 b=-4 c=3 d=5

，所以M=

-1 -4 3 5

．
設點P（x，y）是直線l上任一點，在M變換下對應的點為P′（x₀，y₀），
那么

-1 -4 3 5

x y

=

x0 y0

即

x0=-x-4y y0=3x+5y

．
因為2x₀-y₀-1=0，∴2（-x-4y）-（3x+5y）-1=0 即5x+13y+1=0，
因此直線l的方程是5x+13y+1=0．
（2）由已知，直線的參數方程為

x=-3+ 3 2 t y= 1 2 t

t為參數），
曲線

x=s+ 1 s y=s- 1 s

s為參數）可以化為x²-y²=4．
將直線的參數方程代入上式，得t2-6

3

t+10=0．
設A，B對應的參數分別為t₁，t₂，∴t₁+t₂=，t₁t₂=10．
∴AB=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=2

17

．
（3）由柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²
即x+2y+2z≤3，當且僅當

x 1 = y 2 = z 2 ＞0 x2+y2+z2=1

即x=

1

5

，y=

2

5

，z=

2

5

時，x+2y+2z取得最大值3．
∵不等式|a-1|≥x+2y+2z，對滿足x²+y²+z²=1的一切實數x，y，z恒成立，
只需|a-1|≥3，解得a-1≥3或a-1≤-3，∴a≥4或∴a≤-2．
即實數的取值范圍是（-∞，-2]∪[4，+∞）．

點評：本題考查矩陣變換、參數方程和柯西不等式的應用，考查運算能力和運用所學知識解決問題的能力．