Question

本題有（1）、（2）、（3）三個選擇題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（1）．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=

1 a -1 b

，A的一個特征值λ=2，其對應的特征向量是α1=

2 1

．
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）若向量β=

7 4

，計算A²β的值．

（2）．選修4-4：坐標系與參數方程
已知橢圓C的極坐標方程為ρ2=

12

3cos2θ+4sin2θ

，點F₁，F₂為其左、右焦點，直線l的參數方程為

x=2+ 2 2 t y= 2 2 t

（t為參數，t∈R）．求點F₁，F₂到直線l的距離之和．
（3）．選修4-5：不等式選講
已知x，y，z均為正數．求證：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

Answer 1

分析：（1）由已知可得（2E-A）α₁=

0

，解得a，b即可；先計算A²，進而計算出A²β．
（2）把直線的參數方程和橢圓的極坐標方程化為普通方程，再利用點到直線的距離公式求出即可；
（3）變形后再利用公式x²+y²+z²≥2（xy+xz+xy）≥xy+xz+yz，即可證明結論；也可以利用基本不等式去證明．

解答：解：（A）解：（1）∵矩陣A=

1 a -1 b

，A的一個特征值λ=2，其對應的特征向量是α1=

2 1

．
∴（2E-A）α₁=

0

，即

1 -a 1 2-b

 

2 1

=

0

，∴

2-a=0 2+2-b=0

，解得

a=2 b=4

，
∴矩陣A=

1 2 -1 4

．
（2）∵A²=

1 2 -1 4

 

1 2 -1 4

=

-1 10 -5 14

，
A²β=

-1 10 -5 14

 

7 4

=

33 21

．
（2）由直線l的參數方程為

x=2+ 2 2 t y= 2 2 t

（t為參數，t∈R），消去參數t得直線l普通方程為y=x-2；
由橢圓C的極坐標方程為ρ²=

12

3cos2θ+4sin2θ

，化為3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
∴3x²+4y²=12，化為普通方程

x2

4

+

y2

3

=1．
∴c²=4-3=1，∴c=1．
∴焦點F₁（-1，0），F₂（1，0），∴點F₁到直線l的距離d₁=

|-1-0-2|

2

=

3 2

2

；
F₂到直線l的距離d₂=

|1-0-2|

2

=

2

2

．
∴d₁+d₂=2

2

．
（C）證明：∵x，y，z都是為正數，
∴xyz(

x

yz

+

y

xz

+

z

xy

)=x2+y2+z2≥2（xy+xz+xy）≥xy+xz+yz，當且僅當x=y=z＞0時取等號；
∴

x

yz

+

y

xz

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

點評：充分理解矩陣的特征值和特征向量、極坐標方程與普通方程的互化公式及點到直線的距離公式、不等式的性質是解題的關鍵．