Question

【題目】已知橢圓C：（）的左右焦點分別為，，離心率為，橢圓C上的一點P到，的距離之和等于4.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設，過橢圓C的右焦點的直線與橢圓C交于A，B兩點，若滿足恒成立，求m的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）5

【解析】

（1）利用橢圓的定義以及離心率求出，進而可寫出橢圓的方程.

（2）由（1）可知，設，，利用向量數量積的坐標運算可得，分類討論設出直線方程，當直線l與x軸垂直或直線l不與x軸垂直時，將直線與橢圓聯立，利用韋達定理可將用的式子表示，然后再利用函數的單調性即可求解.

解：（1）設橢圓的焦距為，

由題意可得，，解得，

∴橢圓C的標準方程為：；

（2）由（1）可知，

設，，則

，，

，

①當直線l與x軸垂直時，直線l的方程為，得，

代入得，，或，，則，

②當直線l不與x軸垂直時，設直線的方程為，

聯立，得，

由韋達定理得，，

，

令，，則，

，

又因函數在上是減函數，

，

綜上：m的最小值為5.