Question

【題目】已知，函數.

（1）求實數的值，使得為奇函數；

（2）若關于的方程有兩個不同實數解，求的取值范圍；

（3）若關于的不等式對任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） ；（2） （3）

【解析】

(1）若為奇函數，則，進而可得實數的值，
（2）若關于的方程有兩個不同的實數解，即方程有兩個不同實數解,解出兩個實數根，然后滿足對數的真數為正即可.
（3）若關于的不等式對任意恒成立，即,對任意恒成立，打開絕對值，進而可得的取值范圍．

(1) 為奇函數,則

即

即

所以

即 ，所以

解得：

(2) 方程有兩個不同實數解

即方程有兩個不同實數解

即方程有兩個不同實數解.

設，則可以化為：

，即

當時方程不可能有兩個不等實數根，所以

則或,

即或，

根據對數的真數必須大于0有，即

即： 則且

又，則

故方程滿足條件的實數的范圍是.

(3) 不等式對任意恒成立

即不等式對任意恒成立.

即對任意恒成立.

所以對任意恒成立.

即對任意恒成立.

即 ，

由

(當且僅當時取等號).

在上單調遞增，所以當時，

所以

當時，不等式對任意恒成立.