Question

如圖，已知正方形的邊長為，在延長線上，且.動點從點出發，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到點，其中，則下列命題正確的是            .（填上所有正確命題的序號）

①；
②當點為中點時，；
③若，則點有且只有一個；
④的最大值為；
⑤的最大值為.

Answer 1

①②④⑤

解析試題分析：由題意，不妨設正方形的邊長為1，建立如圖所示的坐標系，
(1)則B（1，0），E（-1，1），故AB=（1，0），AE==（-1，1），所以

=，由圖像可知，故①正確；
(2)當點為中點時， ，= ，所以=，
解得，則，故②正確；
(3)當λ=1，μ=1時，AP=（1，1），此時點P與D重合，滿足λ+μ=2，
當λ=,μ=時，AP=（1，），此時點P為BC的中點，滿足λ+μ=2，
故滿足λ+μ=2的點不唯一，故③錯誤；
(4)當P∈AB時，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，
當P∈BC時，有λ-μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，
當P∈CD時，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，
當P∈AD時，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，
綜上可得0≤λ+μ≤3，故④正確，
(5)==,
當P∈AB時，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤-λ≤1，故有-1≤≤0，
當P∈BC時，有λ-μ=1，0≤μ≤1，0≤2μ≤2,所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，-2≤-λ≤-1
故-2≤-λ+2μ≤1，
當P∈CD時，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，-2≤-λ≤-1，故-1≤≤0，
當P∈AD時，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，-1≤-λ≤0，故0≤-λ+2μ≤1，
綜上可得-2≤-λ+2μ≤1，故⑤正確，
考點：向量加減的幾何意義，向量的線性運算性質及幾何意義