Question

如圖，設△ABC和△DBC所在的兩個平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.求:

（1）A、D的連線和平面BCD所成的角；

（2）A、D的連線和直線BC所成的角；

（3）二面角A—BD—C的大小.（用反三角函數表示）

Answer 1

解：（1）作AH⊥BC交CB延長線于點H，連結HD.

∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AH平面ABC，AH⊥BC,

∴AH⊥平面BCD.

∴∠ADH就是直線AD與平面BCD所成的角.

∵∠ABC=∠DBC=120°,

∴∠ABH=∠DBH=60°.

    又AB=DB，

∴△ABH≌△DBH.

∴AH=DH.

∴∠ADH=45°，即AD與平面BCD所成的角為45°.

（2）由△ABH≌△DBH及∠AHB=90°,得∠DHB=90°,即

CB⊥DH.

    又CB⊥AH，AH、DH平面ADH，AH∩DH=H，

∴CB⊥平面ADH.

    又AD平面ADH，

∴CB⊥AD.

∴A、D連線與BC所成角為90°.

（3）方法一:作AM⊥BD于點M，連結HM.

∵AH⊥平面BCD，

∴HM是AM在平面BCD上的射影，根據三垂線定理的逆定理,可得BD⊥HM.

∴∠AMH就是二面角A—BD—C的平面角的補角.

    設AB=a，根據已知條件在Rt△ABH中，可求得AH=a,BH=,

    在Rt△BDH中，DH=AH=a,

∴HM=a.

∴tan∠AMH==2.

∴二面角A—BD—C的大小為π-arctan2.

方法二:∵AH⊥平面BCD，

∴△ABD在平面BCD上的射影是△HBD.

設AB=a，則BD=a,BH=,DH=AH=a.∴AD=a.

∴等腰△BAD的面積為

·a·,

Rt△BHD的面積為·a·a=a².

∴cosθ=.

∴二面角A—BD—C的大小為π-arccos.