Question

如圖，P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐，D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點，截面DEF∥底面ABC，且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等．（棱長和是指多面體中所有棱的長度之和）
（1）證明：P-ABC為正四面體；
（2）若PD=PA=

1

2

求二面角D-BC-A的大小；（結果用反三角函數值表示）
（3）設棱臺DEF-ABC的體積為V，是否存在體積為V且各棱長均相等的直平行六面體，使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和？若存在，請具體構造出這樣的一個直平行六面體，并給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件證明DE=EF=FD=PD=OE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°，從而證明P-ABC為正四面體；
（2）PD=PA=

1

2

取BC的中點M，連拉PM，DM．AM．說明∠DMA為二面角D-BC-A的平面角．
解三角形DMA求二面角D-BC-A的大小；（結果用反三角函數值表示）
（3）存在滿足條件的直平行六面體．設直平行六面體的棱長均為

1

2

，底面相鄰兩邊夾角為α，
利用該六面體棱長和為6，體積為

1

8

sinα=V．求出α=arcsim（8V）底面相鄰兩邊夾角為arcsim（8V）的直平行六面體即滿足要求

解答：證明：（1）∵棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等，
∴DE+EF+FD=PD+OE+PF．
又∵截面DEF∥底面ABC，
∴DE=EF=FD=PD=OE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°，∴P-ABC是正四面體
解：（2）取BC的中點M，連拉PM，DM．AM．
∵BC⊥PM，BC⊥AM，∴BC⊥平面PAM，BC⊥DM，
則∠DMA為二面角D-BC-A的平面角．
由（1）知，P-ABC的各棱長均為1，
∴PM=AM=

3

2

，由D是PA的中點，得
sin∠DMA=

AD

AM

=

3

3

，∴∠DMA=arcsin

3

3

．
（3）存在滿足條件的直平行六面體．
棱臺DEF-ABC的棱長和為定值6，體積為V．
設直平行六面體的棱長均為

1

2

，底面相鄰兩邊夾角為α，
則該六面體棱長和為6，體積為

1

8

sinα=V．
∵正四面體P-ABC的體積是

2

12

，∴0＜V＜

2

12

，0＜8V＜1．可知α=arcsim（8V）
故構造棱長均為

1

2

，底面相鄰兩邊夾角為arcsim（8V）的直平行六面體即滿足要求．

點評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，平面與平面平行的性質，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．