Question

在實數集R上定義運算?：x?y=（x+a）（1-y），若f（x）=x²，g（x）=x，若F（x）=f（x）?g（x）．
（1）求F（x）的解析式；
（2）若F（x）在R上是減函數，求實數a的取值范圍；
（3）若a=

5

3

，F（x）的曲線上是否存在兩點，使得過這兩點的切線互相垂直，若存在，求出切線方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由F（x）=f（x）?g（x）=（x²-a）（1-x），能求出F（x）的解析式．
（2）由F（x）=-x³+x²-ax+a，知F′（x）=-3x²+2x-a，由F（x）在R上是減函數，知△=4-12a≤0，由此能求出實數a的取值范圍．
（3）a=

5

3

時，F（x）=-x³+x²-

5

3

x+

5

3

，設P（x₁，y₁），Q（x2 ，y₂）是F（x）曲線上的任意兩點，由題設條件能推導出F′(x1)F′(x2)=-1不成立，從而得到F（x）的曲線上不存在兩點，使得過這兩點的切線互相垂直．

解答：解：（1）∵x?y=（x+a）（1-y），f（x）=x²，g（x）=x，
∴F（x）=f（x）?g（x）
=（x²-a）（1-x）
=-x³+x²-ax+a，
（2）∵F（x）=-x³+x²-ax+a，
∴F′（x）=-3x²+2x-a，
∵F（x）在R上是減函數，
∴△=4-12a≤0，解得a≥

1

3

．
故實數a的取值范圍是[

1

3

，+∞）．
（3）a=

5

3

時，F（x）=-x³+x²-

5

3

x+

5

3

，
設P（x₁，y₁），Q（x2 ，y₂）是F（x）曲線上的任意兩點，
∵F′(x)=-3x2+2x-

5

3

=[3（x-

1

3

）²+

4

3

]＜0，
∴F′(x1)F′(x2)=[3（x₁-

1

3

）²+

4

3

]•[3（（x₂-

1

3

） 2 +

4

3

]＞0，
∴F′(x1)F′(x2)=-1不成立，
∴F（x）的曲線上不存在兩點，使得過這兩點的切線互相垂直．

點評：本題考查函數的解析式的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，考查兩條互相垂直的切線是否存在的判斷，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．