Question

在實數集R上定義運算○×：x○×y=（x+a）（1-y），若f（x）=x²，g（x）=x．若F（x）=f（x）○×g（x）在R上為減函數，則a的取值范圍是

a≥

1

3

．

Answer 1

分析：根據定義的運算表示出F（x），由F（x）為R上的減函數知F′（x）≤0恒成立，由此即可求得a的范圍．

解答：解：由已知，得F（x）=（x²+a）（1-x）=-x³+x²-ax+a，
∵F（x）在R上是減函數，∴F′（x）=-3x²+2x-a≤0恒成立，
∴△=4-12a≤0，解得a≥

1

3

．
故答案為：a≥

1

3

．

點評：本題考查函數單調性的性質，考查恒成立問題及學生運用所學知識解決新問題的能力．