Question

已知圓心為C的圓經過點A（0，2）和B（-3，3），且圓心C在直線l：x+y+5=0上．
（1）求線段AB的垂直平分線方程；
（2）求圓C的標準方程．

Answer 1

分析：（1）要求線段的中垂線的方程，需要先寫出兩個端點的中點坐標，再根據垂直的兩條直線斜率之積等于-1，求出斜率，利用點斜式求出結果．
（2）法一：根據圓心的特點，求兩條直線的交點的坐標，得到要求的圓的圓心圓心，根據兩點之間的距離再做出半徑，寫出圓的標準方程；
法二：設出圓的標準式方程，利用待定系數法來得到結果．

解答：解：（1）因為A（0，2），B（-3，3），
∴線段AB的中點坐標為(-

3

2

，

5

2

)，
直線AB的斜率kAB=

3-2

-3-0

=-

1

3

，
故線段AB的垂直平分線方程是y-

5

2

=3(x+

3

2

)，即3x-y+7=0．
（2）法一由

3x-y+7=0 x+y+5=0

，得

x=-3 y=-2

∴圓心C的坐標是（-3，-2）．
圓的半徑長r=|AC|=

(0+3)2+(2+2)2

=5．
∴圓C的標準方程是（x+3）²+（y+2）²=25．
法二，設圓C的標準方程是（x-a）²+（y-b）²=r²．
依題意，得

(0-a)2+(2-b)2=r2 (-3-a)2+(3-b)2=r2 a+b+5=0

，
解得a=-3，b=-2，r²=25
∴圓C的標準方程是（x+3）²+（y+2）²=25

點評：本題考查直線的方程和圓的方程的求法，是一個基礎題，解題時注意利用待定系數法求圓的方程時，注意應用方程思想，注意數字的運算．