Question

已知圓心為C的圓經過點A（1，4），B（3，6），且圓心C在直線4x-3y=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）已知直線l：y=x+m（m為正實數），若直線l截圓C所得的弦長為

14

，求實數m的值．
（3）已知點M（-4，0），N（4，0），且P為圓C上一動點，求|PM|²+|PN|²的最小值．

Answer 1

分析：（1）設圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，由條件可得

(1-a)2+(4-b)2=r2 (3-a)2+(6-b)2=r2 4a-3b=0

，解得a、b、c的值，可得圓C的方程．
（2）根據圓心C到直線l的距離d=

|-1+m|

2

=

4-( 14 2 )2

，求得m的值．
（3）不妨設P（x，y），則|PM|²+|PN|²=2（x²+y²）+32．再根據x²+y²表示的意義以及|OP|_min=3，求得|PM|²+|PN|²的最小值．

解答：解：（1）設圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，由條件可知：

(1-a)2+(4-b)2=r2 (3-a)2+(6-b)2=r2 4a-3b=0

．
解得：

a=3 b=4 r=2

，故圓C的方程為：（x-3）²+（y-4）²=4．
（2）圓心C到直線l：y=x+m的距離為d=

|-1+m|

2

=

4-( 14 2 )2

，
即：|m-1|=1，解得m=2或0．
∵m是正實數，∴m=2．
（3）不妨設P（x，y），則|PM|²+|PN|²=2（x²+y²）+32．
∵x²+y²表示圓上動點P（x，y）與原點O的距離的平方，且|OP|_min=3，
∴|PM|²+|PN|²的最小值為2×3²+32=50．

點評：本題主要考查用待定系數法求圓的方程，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，屬于中檔題．