【題目】已知數(shù)列
的前
項和為
，
，且
時
，數(shù)列
滿足
，
，對任意
，都有
.
（1）求數(shù)列，
的通項公式；
（2）令
若對任意的，不等式
恒成立，試求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】（1）
，
.（2）
【解析】
（1）根據(jù)
，變形為
，用累乘法求解，根據(jù)
，且
，利用等比中項得到數(shù)列
是等比數(shù)列，求得通項.
（2）用等差數(shù)列的前n項和公式求得
，用錯位相減法求得
， 再根據(jù)不等式
，對任意的
恒成立，轉(zhuǎn)化為
恒成立，令
求其最大值即可.
（1）當(dāng)
時，，即.
，
又
，也滿足上式，故數(shù)列
的通項公式
.
由，且，知數(shù)列是等比數(shù)列，其首項公比均為
，
∴數(shù)列
的通項公式，
（2）
.
<1>，
<2>，
由<1>-<2>，得
，
，
，
因為不等式，對任意的恒成立，
即
，對任意的恒成立，
即
恒成立.
即恒成立，
令.
則
，
因為
，所以
單調(diào)遞增且大于0，
所以 
單調(diào)遞增，
當(dāng)
時，
，且
，故
，
所以實數(shù)
的取值范圍是.
各地期末復(fù)習(xí)特訓(xùn)卷系列答案
小博士期末闖關(guān)100分系列答案
名校名師培優(yōu)作業(yè)本加核心試卷系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
為自然對數(shù)的底數(shù)
.
（1）求函數(shù)
的極值；
（2）設(shè)函數(shù)
，若存在實數(shù)
，使得
成立，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在正四面體P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下列四個結(jié)論不成立的是 ( )
A. BC∥平面PDF B. DF⊥平面PAE
C. 平面PDF⊥平面PAE D. 平面PDE⊥平面ABC
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】以下給出五個命題，其中真命題的序號為______
①函數(shù)
在區(qū)間
上存在一個零點，則
的取值范圍是
或
；
②“任意菱形的對角線一定相等”的否定是“菱形的對角線一定不相等”；
③
，
；
④若
，則
；
⑤“
”是“
成等比數(shù)列”的充分不必要條件.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】過拋物線
的焦點作直線交拋物線于
，
兩點，若
，則
的值為（ ）
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
【答案】B
【解析】
根據(jù)過拋物線焦點的弦長公式，利用題目所給已知條件，求得弦長
.
根據(jù)過拋物線焦點的弦長公式有
.故選B.
【點睛】
本小題主要考查過拋物線焦點的弦長公式，即
.要注意只有過拋物線焦點的弦長才可以使用.屬于基礎(chǔ)題.
【題型】單選題
【結(jié)束】
10
【題目】已知橢圓
: 
的右頂點、上頂點分別為
、
，坐標(biāo)原點到直線
的距離為
，且
，則橢圓的方程為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中
為常數(shù).
（1）若
，求曲線
在點
處的切線方程；
（2）若
，求證：
有且僅有兩個零點；
（3）若
為整數(shù)，且當(dāng)
時，
恒成立，求
的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線的中心在原點，焦點為
，
且離心率
.
（1）求雙曲線的方程；
（2）求以點
為中點的弦所在的直線方程.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）根據(jù)焦點坐標(biāo)求得
,根據(jù)離心率及
求得
的值，進而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出
兩點的坐標(biāo)，利用點差法求得弦所在直線的斜率，再由點斜式求得弦所在的直線方程.
（1） 由題可得
，
，∴
，
,
所以雙曲線方程 
.
（2）設(shè)弦的兩端點分別為
，
，
則由點差法有：
, 上下式相減有：
又因為
為中點，所以
，
,
∴
，所以由直線的點斜式可得
,
即直線的方程為
.
經(jīng)檢驗滿足題意.
【點睛】
本小題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查利用點差法求解有關(guān)弦的中點有關(guān)的問題，屬于中檔題
【題型】解答題
【結(jié)束】
19
【題目】某投資公司計劃投資
，
兩種金融產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，產(chǎn)品的利潤
與投資金額
的函數(shù)關(guān)系為
，產(chǎn)品的利潤
與投資金額的函數(shù)關(guān)系為
.（注：利潤與投資金額單位：萬元）
（1）該公司已有100萬元資金，并全部投入，兩種產(chǎn)品中，其中萬元資金投入產(chǎn)品，試把，兩種產(chǎn)品利潤總和表示為的函數(shù)，并寫出定義域；
（2）試問：怎樣分配這100萬元資金，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知平面內(nèi)動點
到兩定點
和
的距離之和為4.
（Ⅰ）求動點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）已知直線
和
的傾斜角均為
，直線
過坐標(biāo)原點
且與曲線
相交于
， 
兩點，直線
過點
且與曲線
是交于
， 
兩點，求證：對任意
， 
.
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