Question

【題目】已知函數，其中為常數.

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若，求證：有且僅有兩個零點；

（3）若為整數，且當時，恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）x－y＝0；（2）詳見解析；（3）4；

【解析】

試題分析：（1）求出f （1），即切線的斜率，可由點斜式得直線方程；（2）用導數研究函數的單調性，再由零點存在性定理說明零點的個數；（3）不等式恒成立問題一般可以先參數分離，再求函數的最值，這樣可以避免討論求最值，本題在求最值時需要二次求導和估值來確定函數的最值；

試題解析：（1）當k＝0時，f（x）＝1＋lnx．

因為f （x）＝，從而f （1）＝1．

又f （1）＝1，

所以曲線y＝f（x）在點 （1，f（1））處的切線方程y－1＝x－1，

即x－y＝0．

（2）當k＝5時，f（x）＝lnx＋－4．

因為f （x）＝，從而

當x∈（0，10），f ′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x∈（10，＋∞）時，f ′（x）＞0，f（x）單調遞增．

所以當x＝10時，f（x）有極小值．

因f（10）＝ln10－3＜0，f（1）＝6＞0，所以f（x）在（1，10）之間有一個零點．

因為f（e4）＝4＋－4＞0，所以f（x）在（10，e4）之間有一個零點．

從而f（x）有兩個不同的零點．

（3）方法一：由題意知，1+lnx－＞0對x∈（2，＋∞）恒成立，

即k＜對x∈（2，＋∞）恒成立．

令h（x）＝，則h（x）＝．

設v（x）＝x－2lnx－4，則v（x）＝．

當x∈（2，＋∞）時，v（x）＞0，所以v（x）在（2，＋∞）為增函數．

因為v（8）＝8－2ln8－4＝4－2ln8＜0，v（9）＝5－2ln9＞0，

所以存在x0∈（8，9），v（x0）＝0，即x0－2lnx0－4＝0．

當x∈（2，x0）時，h（x）＜0，h（x）單調遞減，當x∈（x0，＋∞）時，h（x）＞，h（x）單調遞增．

所以當x＝x0時，h（x）的最小值h（x0）＝．

因為lnx0＝，所以h（x0）＝∈（4，4.5）．

故所求的整數k的最大值為4．

方法二：由題意知，1+lnx－＞0對x∈（2，＋∞）恒成立．

f（x）＝1+lnx－，f （x）＝．

①當2k≤2，即k≤1時，f（x）＞0對x∈（2，＋∞）恒成立，

所以f（x）在（2，＋∞）上單調遞增．

而f（2）＝1＋ln2＞0成立，所以滿足要求．

②當2k＞2，即k＞1時，

當x∈（2，2k）時，f ′（x）＜0， f（x）單調遞減，當x∈（2k，＋∞），f ′（x）＞0，f（x）單調遞增．

所以當x＝2k時，f（x）有最小值f（2k）＝2＋ln2k－k．

從而f（x）＞0在x∈（2，＋∞）恒成立，等價于2＋ln2k－k＞0．

令g（k）＝2＋ln2k－k，則g（k）＝＜0，從而g（k） 在（1，＋∞）為減函數．

因為g（4）＝ln8－2＞0，g（5）＝ln10－3＜0 ，

所以使2＋ln2k－k＜0成立的最大正整數k＝4．

綜合①②，知所求的整數k的最大值為4．