Question

【題目】四川省雙流中學是一所國家級示范高中，具有悠久的辦學歷史、豐富的辦學經驗.近年來，雙中共為國內外高校輸送合格新生20000余名，其中為清華、北大、復旦、人大等一流學府輸送新生1800余名，上本科線人數年年超過千人，培養出省、市、縣高考冠軍17名，位居成都市同類學校前茅.該校高三某班有50名學生參加了今年成都市“一診”考試，其中英語成績服從正態分布，數學成績的頻率分布直方圖如下：

（1）如果成績140分及以上為單科特優，則該班本次考試中英語、數學單科特優大約各多少人？

（2）試問該班本次考試中英語和數學平均成績哪個較高，并說明理由；

（3）如果英語和數學兩科都為單科特優共有5人，把（1）中的近似數作為真實值，從（1）中這些同學中隨機抽取3人，設三人中英語和數學雙科特優的有人，求的分布列和數學期望.

參考公式及數據：

則

Answer 1

【答案】（1）英語有人，數學有人；（2）數學，理由見解析；（3）分布列見解析，

【解析】

（1）由英語成績服從正態分布，求出英語成績為單科特優的概率為，由此能求出英語成績為單科特優的同學的人數，由圖形先求出，由此能求出數學成績特優的同學的人數；

（2）英語的平均價成績為120人，數學的平均成績為127分，從而數學的平均成績更高；

（3）英語和數學雙科特優的有5人，單科特優的有8人，得到的取值為，分別求出相應的概率，由此求得隨機變量的分布列和數學期望.

（1）由題意，英語成績服從正態分布，

所以英語成績為單科特優的概率為，

所以英語成績為單科特優的同學約有人，

因為，解得

數學成績特別優秀的同學約有人.

（2）英語的平均成績為120分，

數學的平均成績為分，

因為，所以數學的平均成績更高.

（3）英語和數學雙科特優的有5人，單科特優的有8人，

從中抽取3人，隨機變量可能取值有0，1，2，3，

；；

；

故的分布列為：

	0	1	2	3

所以的數學期望為（人）.