Question

1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

與2

n

的大小關(guān)系為

 

．（n∈N^*）

Answer 1

分析：將

1

n

變形為

2

2 n

，然后利用放縮變換構(gòu)造

2

2 n

＜

2

n + n-1

，進(jìn)而利用分母有理化及裂項相消法求解．

解答：解：∵

1

n

=

2

2 n

＜

2

n + n-1

=

2( n - n-1 )

( n + n-1 )( n - n-1 )

=2（

n

-

n-1

），
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2[（

1

-

0

）+(

2

-

1

)+(

3

-

2

)+…+（

n

-

n-1

）]=2

n

，
故答案為1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

．

點(diǎn)評：本題考查了不等式的有關(guān)知識，運(yùn)用了放縮法、分母有理化及裂項相消法等數(shù)學(xué)方法，難度一般．