Question

已知數列{a_n}是首項為1，公比為3的等比數列，等差數列{b_n}的前n項和S_n有最大值，且S₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設cn=

an(n為奇數) bn(n為偶數).

求數列{c_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

分析：（1）因為數列{a_n}是首項為1，公比為3的等比數列得到數列的通項公式，由S₃=15得到等差數列{b_n}的通項公式即可；
（2）當n為奇數時c_n，n為偶數c_n，分別求出前n項和即可得到T_n也是分段的數列．

解答：解：（1）{a_n}是首項為1，公比為3的等比數列，∴a_n=3^n-1．
設{b_n}的公差為d，由S₃=15得b₁+b₂+b₃=15，于是b₂=5，
故可設b₁=5-d，b₃=5+d，又a₁=1，a₂=3，a₃=9，
由題意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，解得d₁=2，d₂=-10，
∵等差數列{b_n}的前n項和S_n有最大值，
∴d＜0，d=-10，∴b_n=5-10（n-2）=-10n+25．
（2）當n為奇數時，T_n=a₁+b₂+a₃+b₄+a₅+b₆++b_n-1+a_n
=（a₁+a₃+a₅++a_n）+（b₂+b₄+b₆++b_n-1）
=

1-9 n+1 2

1-9

+(20-5n)×

n-1

2

=

3n+1-1

8

+

-5n2+25n-20

2

當n為偶數時，T_n=a₁+b₂+a₃+b₄+a₅+b₆++a_n-1+b_n
=（a₁+a₃+a₅++a_n-1）+（b₂+b₄+b₆++b_n）
=

1-9 n 2

1-9

+(30-10n)×

n

4

=

3n-1

8

+

15n-5n2

2

Tn=

3n-1 8 + 15n-5n2 2 (n為偶數) 3n+1-1 8 + -5n2+25n-20 2 (n為奇數)

點評：此題綜合考查學生運用等差等比數列的通項公式的能力，以及等差等比數列求和公式的能力，運用 等差等比性質的能力．