Question

已知數列{a_n}是首項為3，公差為2的等差數列，其前n項和為S_n，數列{b_n}為等比數列，且b1=1，bn＞0，數列{ban}是公比為64的等比數列．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據等差數列的通項公式可求得a_n，設{bn}的公比為q，則bn=qn-1，由

ba2

ba1

=

b5

b3

=q²=64可求得q，從而可得b_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S_n，對

1

Sn

拆項后利用裂項相消法可求得

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，從而可得結論；

解答：解：（I）依題意有：a_n=a₁+（n-1）d=3+（n-1）×2=2n+1，
設{bn}的公比為q，則bn=qn-1，
∵數列{ban}是公比為64的等比數列，
∴

ba2

ba1

=

b5

b3

=q²=64，解得q=8，
∴bn=8n-1；
（II）由（Ⅰ）可得，S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），
∴

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

．

點評：本題考查等差數列、等比數列的通項公式和數列求和，考查數列與不等式的綜合，裂項相消法對數列求和是高考考查的重點內容，要熟練掌握．