Question

（本小題滿分12分）如圖，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，D是BC的中點(diǎn)，AA₁=AB=1.

（I）求證：A₁C//平面AB₁D；
（II）求二面角B—AB₁—D的大小；
（III）求點(diǎn)C到平面AB₁D的距離.

Answer 1

（I）空間直角坐標(biāo)系D—xyz,
（II）（III）

解析試題分析：建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，如圖，

（1）證明：
連接A₁B，設(shè)A₁B∩AB₁ = E，連接DE.
設(shè)A₁A =" AB" = 1，
則

 …………………………3分
，
 ……………………………………4分
（2）解：， ，
設(shè)是平面AB₁D的法向量，則，
故；
同理，可求得平面AB₁B的法向量是 ……………………6分
設(shè)二面角B—AB₁—D的大小為θ，，
∴二面角B—AB₁—D的大小為 …………………………8分
（3）解由（II）得平面AB₁D的法向量為，
取其單位法向量
∴點(diǎn)C到平面AB₁D的距離
考點(diǎn)：線面平行的判定及二面角，點(diǎn)面距
點(diǎn)評(píng)：本題第二問(wèn)還可作出平面角求解，第三問(wèn)利用等體積法亦可求解