Question

（2012•海口模擬）若圓x²+y²-4x-9=0與y軸的兩個交點A．B都在雙曲線上，且A、B兩點恰好將此雙曲線的焦距三等分，則此雙曲線的標準方程為（　　）

• A．

  x2

  9

  -

  y2

  72

  =1
• B．

  y2

  9

  -

  x2

  72

  =1
• C．

  x2

  16

  -

  y2

  81

  =1
• D．

  y2

  81

  -

  x2

  16

  =1

Answer 1

分析：由題設知A、B是雙曲線的頂點．令x=0，則y=-3或y=3，故A（0，-3），B（0，3），在雙曲線中，a=3，2c=3×2a=18，由此能求出雙曲線的標準方程．

解答：解：∵圓x²+y²-4x-9=0與y軸的兩個交點A、B都在雙曲線上，
且A、B兩點恰好將此雙曲線的焦距三等分，
∴A、B是雙曲線的頂點．
令 x=0，則 y=-3或y=3，
∴A（0，-3），B（0，3），
在雙曲線中，a=3，2c=3×2a=18，
∴a=3，c=9，b²=81-9=72，
因此，雙曲線的標準方程是

y2

9

-

x2

72

=1．
故選C．

點評：本題考查雙曲線的標準方程的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．