Question

（2012•海口模擬）已知某圓的極坐標方程是p2-4

2

pcos(θ-

π

4

)+6=0
求：
（1）求圓的普通方程和一個參數方程；
（2）圓上所有點（x，y）中xy的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）圓的極坐標方程是p2-4

2

pcos(θ-

π

4

)+6=0，化為直角坐標方程即 x²+y²-4x-4y+6=0，從而進一步得到其參數方程．
（2）因為 xy=（2+

2

cosθ）（2+

2

sinθ）=4+2

2

（sinθ+cosθ）+2sinθcosθ，再令sinθ+cosθ=t∈[-

2

，

2

]，則xy=t²+2

2

t+3，根據二次函數的最值，求得其最大值和最小值．

解答：解：（1）普通方程：x²+y²-4x-4y+6=0…（2分）；
參數方程：

x=2+ 2 cosθ y=2+ 2 sinθ

 （θ為參數）…（4分）
（2）xy=（2+

2

cosθ）（2+

2

sinθ）=4+2

2

（sinθ+cosθ）+2sinθcosθ…（5分）
令sinθ+cosθ=t∈[-

2

，

2

]，2sinθcosθ=t²-1
，則xy=t²+2

2

t+3…（6分）
當t=-

2

時，最小值是1；…（8分）
當t=

2

時，最大值是9；…（10分）

點評：本題考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，兩角和的正弦公式，圓的參數方程，得到圓的參數方程，是解題的關鍵．