Question

【題目】已知數列{an}的首項a1= ，an+1= ，n=1，2，…
（1）求證：{ ﹣1}是等比數列，并求出{an}的通項公式；
（2）證明：對任意的x＞0，an≥ ﹣ （ ﹣x），n=1，2，…
（3）證明：n﹣ ≥a1+a2+…+an＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an+1= ，

∴ ，即 ，

又 ，

∴{ }是以 為首項， 為公比的等比數列．

∴ ，

∴ ；

（2）證明： =

= ；

（3）證明：由 ，

知 ，

當n=1時等號成立．

∴n﹣ ≥a1+a2+…+an；

由（2）知，對于任意x＞0，有

，

取 ，

則a1+a2+…+an≥ ．

故n﹣ ≥a1+a2+…+an＞ ．

【解析】（1）把原數列遞推式取倒數，然后配方化為 ，得到數列∴{ }是以 為首項， 為公比的等比數列．則{an}的通項公式可求；（2）把{an}的通項公式代入后作差，整理后由差式大于等于0得答案；（3）不等式左邊直接代入數列{an}的通項公式放縮得答案，借助于（2），分別取n=1，2，3，…，累加后取取 證得答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等比數列的基本性質和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握{an}為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列;{an}既是等差數列又是等比數列== {an}是各項不為零的常數列；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．