Question

（2012•成都一模）某社區(qū)為豐富居民的業(yè)余文化生活，準備召并一次趣味運動會．在“射擊氣球”這項比賽活動中，制定的比賽規(guī)則如下規(guī)則：每人只參加一場比賽，每場比賽每人都依次射擊完編號為①、②、③、④、⑤的5個氣球，每次射擊一個氣球；若這5次射擊中，④、⑤號氣球都被擊中，且①、②、③號氣球至少有1個被擊中，則此人獲獎；否則不獲獎．已知甲每次射擊擊中氣球的概率都為

2

3

，且各次擊結果互不影響．
（I）求甲在比賽中獲獎的概率；
（II）求甲至少擊中了其中3個氣球但沒有獲獎的概率．

Answer 1

分析：（I）先求出事件“①、②、③號氣球全都沒有擊中”的概率等于(

1

3

)3=

1

27

，可得甲在比賽中獲獎的概率等于(

2

3

)2×（1-

1

27

），運算求得結果．
（II）若④、⑤號氣球只有一個沒有被擊中，求得所求的事件的概率；若④、⑤號氣球兩個都沒有被擊中，求得所求的事件的概率；再把這兩個概率的值相加，即得所求．

解答：解：（I）事件“①、②、③號氣球至少有1個被擊中”的對立事件是：“①、②、③號氣球全都沒有擊中”，
由題意可得，事件“①、②、③號氣球全都沒有擊中”的概率等于(

1

3

)3=

1

27

，
故甲在比賽中獲獎的概率等于 (

2

3

)2×（1-

1

27

）=

104

243

．
（II）甲至少擊中了其中3個氣球但沒有獲獎，說明 ④、⑤號氣球至少有一個沒有被擊中．
若④、⑤號氣球只有一個沒有被擊中，則所求的事件的概率等于
（ 

C

1 2

×

1

3

×

2

3

 ）×（

C

2 3

×(

2

3

)2×

1

3

+(

2

3

)3）=

80

243

．
若④、⑤號氣球兩個都沒有被擊中，則所求的事件的概率等于 (

1

3

)2×(

2

3

)3=

8

243

．
綜上可得，甲至少擊中了其中3個氣球但沒有獲獎的概率等于

80

243

+

8

243

=

88

243

．

點評：本題主要考查n次獨立重復實驗中恰好發(fā)生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用1減去它的對立事件概率，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，是一個中檔題目．