Question

（2012•成都一模）設正方體ABC-A₁B₁C₁D₁ 的棱長為2，動點E，F在棱A₁B₁上，動點P、Q分別在棱AD、CD上，若EF=1，A₁E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z＞0），則下列結論中錯誤的是（　　）

• A．EF∥平面DPQ
• B．二面角P-EF-Q所成角的最大值為

  π

  4

• C．三棱錐P-EFQ的體積與y的變化有關，與x、z的變化無關
• D．異面直線EQ和AD₁所成角的大小與x、y的變化無關

Answer 1

分析：由線面平行的判定定理，得A項正確；由二面角的定義和正方體性質，可得B項沒有錯誤；由線面垂直的判定與性質，可得D項也正確．根據錐體體積公式和正方體的性質，可得C項中三棱錐P-EFQ的體積與x、y大小無關，與z大小有關，故C項有錯誤，由此即可得到本題的答案．

解答：解：對于A，因為平面DPQ外一直線EF平行于平面DPQ內的直線DQ，
故EF∥平面DPQ，得A項正確；
對于B，當P點在AD上，由靠近點D的位置向A移動的過程中，
二面角P-EF-Q的大小逐漸增大，直到當P與A重合時，
二面角大小等于二面角A-A₁B₁-D，剛好等于

π

4

，故B正確；
對于C，由點Q到EF的距離等于2

2

，而EF=1，故S_△EFQ=

1

2

2

不變，
而隨著P在AD上運動，P到平面EFQ的距離為變量，從而使得三棱錐P-EFQ的
體積跟著變化，所以三棱錐P-EFQ的體積與x、y大小無關，與z大小有關，
由此可得C項有錯誤；
對于D，由線面垂直的判定定理，可得AD₁⊥平面A₁DCB₁，而直線EQ在平面內運動，
可得不論EQ怎樣運動，總有EQ與AD₁成90°的角，與x、y的變化無關，故D項正確．
故選：C

點評：本題給出正方體中的動點，探索了線面位置關系、二面角的大小和錐體的體積，著重考查了空間角大小的求法、線面平行和線面垂直的證明等知識點，屬于中檔題．