Question

已知函數f （x）=lnx，g（x）=e^x．
（I）若函數φ （x） = f （x）－，求函數φ （x）的單調區間；
（Ⅱ）設直線l為函數的圖象上一點A（x₀，f （x₀））處的切線．證明：在區間（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直線l與曲線y=g（x）相切．

Answer 1

（1）增區間為；（2）見解析.

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
解：（Ⅰ） ，
．             2分
∵且，
∴
∴函數的單調遞增區間為．   4分
（Ⅱ）∵ ，∴，
∴ 切線的方程為,
即,  ①             6分
設直線與曲線相切于點，
∵，∴，∴．      8分
∴直線也為，
即， ②                 9分
由①②得 ，
∴．          11分
下證：在區間（1，+）上存在且唯一．
由（Ⅰ）可知，在區間上遞增．
又，，          13分
結合零點存在性定理，說明方程必在區間上有唯一的根，這個根就是所求的唯一．                  
故結論成立． 14分