Question

f（x）是定義在區間[-c，c]上的奇函數，其圖象如圖所示：令g（x）=af（x）+b，則下列關于函數g（x）的結論：
①若a＜0，則函數g（x）的圖象關于原點對稱；
②若a=-1，-2＜b＜0，則方程g（x）=0有大于2的實根；
③若a≠0，b=2，則方程g（x）=0有兩個實根；
④若a≠0，b=2，則方程g（x）=0有三個實根．
其中，正確的結論有

②

．

Answer 1

分析：奇函數的圖象關于原點對稱；當a≠0時af（x）與f（x）有相同的奇偶性；f（x）+b的圖象可由f（x）上下平移得到．充分利用以上知識點逐項分析即可解答．

解答：解：（1）若a=-1，b=1，則函數g（x）不是奇函數，
其圖象不可能關于原點對稱，所以①錯誤；
（2）當a=-1時，-f（x）仍是奇函數，2仍是它的一個零點，
但單調性與f（x）相反，若再加b，-2＜b＜0，
則圖象又向下平移-b個單位長度，
所以g（x）=-f（x）+b=0有大于2的實根，所以②正確；
（3）若a=1，b=2，則g（x）=f（x）+2，
其圖象由f（x）的圖象向上平移2個單位長度，
那么g（x）只有兩個零點，所以g（x）=0只有兩個實根，所以③錯誤；
（4）若a=1，b=-3，則g（x）的圖象由f（x）的圖象向下平移3個單位長度，
它只有1個零點，即g（x）=0只有一個實根，所以④錯誤．
故答案為：②．

點評：本題考查奇函數的圖象特征及函數af（x）與f（x）的奇偶性關系，同時考查由f（x）到f（x）+b的圖象變化．