Question

（2003•北京）設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）證明：對任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判斷函數(shù)g(x)=

1+x，x∈[-1，0) 1-x，x∈[0，1]

是否滿足題設(shè)條件；
（Ⅲ）在區(qū)間[-1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y=f（x），且使得對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，請舉一例：若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用（ii），可得當(dāng)x∈[-1，1]時，有|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤|x-1|=1-x，從而可得結(jié)論；
（II）分類討論，驗證滿足條件（i），（ii）即可；
（III）利用反證法，結(jié)合條件，引出矛盾即可．

解答：（Ⅰ）證明：由題設(shè)條件可知，當(dāng)x∈[-1，1]時，有|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤|x-1|=1-x，
即x-1≤f（x）≤1-x．
（Ⅱ）解：函數(shù)g（x）滿足題設(shè)條件．
驗證如下：g（-1）=0=g（1）．
對任意的u，v∈[-1，1]，
當(dāng)u，v∈[0，1]時，有|g（u）-g（v）|=|（1-u）-（1-v）|=|u-v|；
當(dāng)u，v∈[-1，0]時，同理有|g（u）-g（v）|=|u-v|；
當(dāng)u•v＜0，不妨設(shè)u∈[-1，0），v∈（0，1]，有|g（u）-g（v）|=|（1+u）-（1-v）|=|u+v|≤|v-u|．
所以，函數(shù)g（x）滿足題設(shè)條件．
（Ⅲ）解：這樣滿足的函數(shù)不存在．
理由如下：假設(shè)存在函數(shù)f（x）滿足條件，則由f（-1）=f（1）=0，得|f（1）-f（-1）|=0，①
由于對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=|u-v|．
所以，|f（1）-f（-1）|=|1-（-1）|=2．②
①與②矛盾，因此假設(shè)不成立，即這樣的函數(shù)不存在．

點(diǎn)評：本小題考查函數(shù)、不等式等基本知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力．