Question

設函數f(x)是定義在R上的偶函數，并在區間(－∞,0)內單調遞增，f(2a²+a+1)<f(3a²－2a+1).求a的取值范圍，并在該范圍內求函數y=()的單調遞減區間.

Answer 1

函數y=()的單調遞減區間為［，3)

欲由f(2a²+a+1)<f(3a²－2a+1)求a的取值范圍，就要設法利用函數f(x)的單調性。
而函數y=()是一個復合函數，應該利用復合函數單調性的判定方法解決
設0<x₁<x₂,則－x₂<－x₁<0，∵f(x)在區間(－∞,0)內單調遞增，
∴f(－x₂)<f(－x₁),∵f(x)為偶函數，∴f(－x₂)=f(x₂),f(－x₁)=f(x₁),
∴f(x₂)<f(x₁).∴f(x)在(0，+∞)內單調遞減.

由f(2a²+a+1)<f(3a²－2a+1)得：2a²+a+1>3a²－2a+1.解之，得0<a<3.
又a²－3a+1=(a－)²－.
∴函數y=()的單調減區間是
結合0<a<3,得函數y=()的單調遞減區間為［，3).
偶函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性相反，而奇函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性相同。