Question

如果函數f（x）滿足：對任意的實數x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y）且f（1）=2，則

f(2)

f(1)

+

f(4)

f(2)

+

f(6)

f(3)

+

f(8)

f(4)

+…+

f(20)

f(10)

=______．

Answer 1

由f（x+y）=f（x）•f（y）得f（2x）=f（x）²⇒

f(2x)

f(x)

=f（x）．
∵f（x+y）=f（x）•f（y）⇒f（x+1）=f（x）•f（2）=2f（x）⇒

f(x+1)

f(x)

=2，
所以數列{f（n）}是以2為首項，2為公比的等比數列，故f（n）=2×2^n-1=2ⁿ．
∴

f(2n)

f(n)

=f（n）=2ⁿ．
則

f(2)

f(1)

+

f(4)

f(2)

+

f(6)

f(3)

+

f(8)

f(4)

+…+

f(20)

f(10)

=2¹+2²+2³+…+2¹⁰=

2(1-210)

1-2

=2¹¹-2=2046．
故答案為：2046．