Question

已知直線l過(guò)點(diǎn)（1，

17

8

）且它的一個(gè)方向向量為（4，-7），又圓C₁：（x+3）²+（y-1）²=4與圓C₂關(guān)于直線l對(duì)稱．
（Ⅰ）求直線l和圓C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，試示所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)直線的方向向量求出直線的斜率，然后求出直線l的方程，根據(jù)兩個(gè)圓的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求出對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，寫出半徑然后求出圓C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)P的坐標(biāo)（m，n），直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，就是圓C₁到直線l₁的距離等于圓C₂到直線l₂的距離．推出（2-m-n）k=m-n-3或（m-n+8）k=m+n-5，關(guān)于k的方程有無(wú)窮多解，推出

2-m-n=0 m-n-3=0

或

m-n+8=0 m+n-5=0

求出P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（Ⅰ）∵直線l的一個(gè)方向向量為（4，-7），∴k1=-

7

4

由y-

17

8

=-

7

4

(x-1)，
所以，直線l是方程為：14x+8y-31=0
∵圓C₁：（x+3）²+（y-1）²=4與圓C₂關(guān)于直線l對(duì)稱，設(shè)
圓C₂的圓心為（a，b），
則

b-1

a+3

=

4

7

14×

a-3

2

+8×

b+1

2

-31=0解得a=4，b=5
所以圓C₂的方程：（x-4）²+（y-5）²=4
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（m，n）則直線l₁和l₂，的方程分別為：y-n=k（x-m），y-n=-

1

k

（x-m）
因?yàn)橹本�l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，
所以圓C₁到直線l₁的距離等于圓C₂到直線l₂的距離．
所以

|-3k-1+n-km|

1+k2

=

|- 4 k -5+n+ m k |

1+( 1 k )2

∴（2-m-n）k=m-n-3或（m-n+8）k=m+n-5
∵關(guān)于k的方程有無(wú)窮多解，∴

2-m-n=0 m-n-3=0

或

m-n+8=0 m+n-5=0

解得點(diǎn)P的坐標(biāo)（-

3

2

，

13

2

）或（

5

2

， -

1

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查直線的方向向量求直線方程，直線與圓的位置關(guān)系，對(duì)稱的知識(shí)，注意方程無(wú)數(shù)解的條件，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程的思想，常考題型．