Question

(本題滿分10分)甲乙兩地相距 km,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過 km/h,已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度 km/h的平方成正比,比例系數為,固定部分為元.
(1)把全程運輸成本(元)表示為速度(千米/時)的函數,并指出這個函數的定義域;
(2)為了使全程運輸成本最小,汽車應以多大速度行駛?

Answer 1

（1）所求函數及其定義域為y=s(+bv),v∈.
（2）為使全程運輸成本y最小,當≤c時,行駛速度為v=;當>c時,行駛速度為v=c.

解:(1)依題意知,汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為,全程運輸成本為y=a·+bv²·=s(+bv).
故所求函數及其定義域為y=s(+bv),v∈.
(2)依題意知s,a,b,v都是正數,故有s(+bv)≥2s.當且僅當=bv,即v=時上式中等號成立.
①當≤c時,則當v=時全程運輸成本最小;
②當>c時,則當v∈時有s(+bv)-s(+bc)=s[(-)+(bv-bc)]=(c-v)(a-bcv).
∵c-v≥0且a>bc²,故有a-bcv≥a-bc²>0,∴s(+bv)≥s(+bc),當且僅當v=c時等號成立.
即當v=c時全程運輸成本最小.
綜上知,為使全程運輸成本y最小,當≤c時,行駛速度為v=;當>c時,行駛速度為v=c.