Question

（本小題滿分14分）
動點與點的距離和它到直線的距離相等，記點的軌跡為曲線．圓
的圓心是曲線上的動點, 圓與軸交于兩點，且.
（1）求曲線的方程；
（2）設點2,若點到點的最短距離為,試判斷直線與圓的位置關系,
并說明理由.

Answer 1

（本小題滿分14分）
(本小題主要考查求曲線的軌跡方程、直線、圓、拋物線等知識, 考查數形結合、化歸與轉化、函數與方程的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創新意識)
(1)解法1: 設動點的坐標為,依題意,得,
即,                                           …… 2分
化簡得:,
∴曲線的方程為.                                          …… 4分
解法2:由于動點與點的距離和它到直線的距離相等，
根據拋物線的定義可知,動點的軌跡是以點為焦點,直線為準線的拋物線.
…… 2分
∴曲線的方程為.                                           …… 4分
（2）解: 設點的坐標為,圓的半徑為，
∵ 點是拋物線上的動點,
∴().
∴                                      …… 6分

.                                  
∵,∴,則當時,取得最小值為,        …… 8分
依題意得 ,                                              
兩邊平方得,
解得或(不合題意,舍去).                                      …… 10分
∴,,即.
∴圓的圓心的坐標為.
∵ 圓與軸交于兩點，且,
∴ .
∴.                                                 …… 12分
∵點到直線的距離,
∴直線與圓相離.                                                  …… 14分

略