Question

如圖，在直角坐標系中，A，B，C三點在x軸上，原點O和點B分別是線段AB和AC的中點，已知AO=m（m為常數），平面上的點P滿足PA+PB=6m．
（1）試求點P的軌跡C₁的方程；
（2）若點（x，y）在曲線C₁上，求證：點(

x

3

，

y

2 2

)一定在某圓C₂上；
（3）過點C作直線l，與圓C₂相交于M，N兩點，若點N恰好是線段CM的中點，試求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意結合橢圓的定義可得點P的軌跡C₁是以A，B為焦點的橢圓，且半焦距長c=m，長半軸長a=3m，從而寫出C₂的方程．
（2）若點（x，y）在曲線C₁上，則點的坐標適合曲線的方程：

x2

9m2

+

y2

8m2

=1．經過轉換得x₀²+y₀²=m²，從而得出點(

x

3

，

y

2 2

)一定在某一圓C₂上．
（3）由題意C（3m，0），M（x₁，y₁），利用因為點N恰好是線段CM的中點，得到N點的坐標，代入C₂的方程得方程組，即可解得直線l有且只有一條．

解答：解：（1）由題意可得點P的軌跡C₁是以A，B為焦點的橢圓．…（2分）
且半焦距長c=m，長半軸長a=3m，則C₁的方程為

x2

9m2

+

y2

8m2

=1．…（5分）
（2）若點（x，y）在曲線C₁上，則

x2

9m2

+

y2

8m2

=1．設

x

3

=x0，

y

2 2

=y0，則x=3x₀，y=2

2

y0．…（7分）
代入

x2

9m2

+

y2

8m2

=1，得x₀²+y₀²=m²，所以點(

x

3

，

y

2 2

)一定在某一圓C₂上．
…（10分）
（3）由題意C（3m，0）．…（11分）
設M（x₁，y₁），則x₁²+y₁²=m²．…①
因為點N恰好是線段CM的中點，所以N(

x1+3m

2

，

y1

2

)．代入C₂的方程得(

x1+3m

2

)2+(

y1

2

)2=m2．…②
聯立①②，解得x₁=-m，y₁=0．…（15分）
故直線l有且只有一條，方程為y=0．…（16分）
（若只寫出直線方程，不說明理由，給1分）

點評：本小題主要考查曲線與方程、圓錐曲線的軌跡問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．