Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，F1 ， F2分別為橢圓 + =1（a＞b＞0）的左、右焦點，頂點B的坐標為（0，b），連接BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連接F1C．

（1）若點C的坐標為（ ， ），且BF2= ，求橢圓的方程；
（2）若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵C的坐標為（ ， ），

∴ ，即 ，

∵ ，

∴a2=（ ）2=2，即b2=1，

則橢圓的方程為 +y2=1

（2）解：設F1（﹣c，0），F2（c，0），

∵B（0，b），

∴直線BF2：y=﹣ x+b，代入橢圓方程 + =1（a＞b＞0）得（ ）x2﹣ =0，

解得x=0，或x= ，

∵A（ ， ），且A，C關于x軸對稱，

∴C（ ，﹣ ），

則 =﹣ = ，

∵F1C⊥AB，

∴ ×（ ）=﹣1，

由b2=a2﹣c2得 ，

即e=

【解析】（1）根據橢圓的定義，建立方程關系即可求出a，b的值．（2）求出C的坐標，利用F1C⊥AB建立斜率之間的關系，解方程即可求出e的值．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．