Question

已知雙曲線C：的離心率為，且過點P（，1）

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點A和B，且（O為坐標原點），求k的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）（－1，－）（，1）.

【解析】（1）由題意得，又，解得，故雙曲線方程為；（2）直線方程與雙曲線方程聯立消去得，根據題意需滿足得.由，即＞2，由韋達定理和直線方程把用表示，得關于的不等式，求出，取交集得的取值范圍是（－1，－）（，1）.　　

解：（1）由已知：

雙曲線過點P（，1），

解得，，故所求的雙曲線方程為　---------------------------------4分

（2）將代入得

由直線與雙曲線C交于不同的兩點得，　

即　　　　　　　　　　　　        　　①---------------------------------6分

設A（），B（），由得＞2

而＝＝

＝，于是　　        　　　　②---------------------------------8分

由　①②　　得　

故所求的的取值范圍是（－1，－）（，1）　　---------------------------------10分