Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且cosA=

1

3

．
（Ⅰ）求sin2

B+C

2

+cos2A的值；
（Ⅱ）若a=

3

，求bc的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把所求的式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式及三角形的內(nèi)角和定理化簡后，得到一個(gè)關(guān)于cosA的關(guān)系式，把cosA的值代入即可求出值；
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理表示出cosA，讓其等于

1

3

，然后把等式變?yōu)?span id="sg2y2mw" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

2

3

bc=b2+c2-a2，利用基本不等式和a的值即可求出bc的最大值．

解答：解：（Ⅰ）sin2

B+C

2

+cos2A
=

1

2

[1-cos(B+C)]+(2cos2A-1)
=

1

2

(1+cosA)+(2cos2A-1)
=

1

2

(1+

1

3

)+(

2

9

-1)
=-

1

9

；
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理可知：

b2+c2-a2

2bc

=cosA=

1

3

∴

2

3

bc=b2+c2-a2≥2bc-a2，
又∵a=

3

，即

2

3

bc≥2bc-3，
∴bc≤

9

4

．當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

3

2

時(shí)，bc=

9

4

，
故bc的最大值是

9

4

．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的余弦函數(shù)公式及余弦定理化簡求值，靈活運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最值，是一道中檔題．