Question

（2013•房山區二模）對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設f′（x）是函數y=f（x）的導數，f″（x）是f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且拐點就是對稱中心．若f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+

1

6

x+1，則該函數的對稱中心為

(

1

2

，1)

，計算f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f(

2012

2013

)=

2012

．

Answer 1

分析：根據函數f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函數f（x）的對稱中心．由于函數的對稱中心為（

1

2

，1），可知f（x）+f（1-x）=2，由此能夠求出所給的式子的值．

解答：解：∵f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+

1

6

x+1，則 f′（x）=x²-x+

1

6

，f″（x）=2x-1，令f″（x）=2x-1=0，求得x=

1

2

，
故函數y=f（x）的“拐點”為（

1

2

，1）．
由于函數的對稱中心為（

1

2

，1），
∴f（x）+f（1-x）=2，
∴f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f(

2012

2013

)=2×1006=2012，
故答案為 （

1

2

，1），2012．

點評：本小題主要考查函數與導數等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查化簡計算能力，求函數的值以及函數的對稱性的應用，屬于中檔題．