Question

（14分）已知函數(shù)f(x)＝x⁴－4x³＋ax²－1在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減；

（1）求a的值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g(x)＝bx²－1的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有2個(gè)交點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)b的值；若不存在，試說明理由。

（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)m∈[﹣6，﹣2]，不等式，在x∈[﹣1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍。

Answer 1

解：⑴∵f(x)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，

∴f’(1)＝0，f’(1)＝4x³－12x²＋2ax|_x＝1＝2a－8＝0，∴a＝4；

⑵由⑴知f(x)＝x⁴－4x³＋4x²－1，由f(x)＝g(x)可得x⁴－4x³＋4x²－1＝bx²－1

即x²(x²－4x＋4－b)＝0．

∵f(x)的圖象與g(x)的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴方程x²－4x＋4－b＝0有兩個(gè)非零等根或有一根為0，另一個(gè)不為0，

∴Δ＝16－4（4－b）＝0，或4 – b ＝ 0，∴b ＝ 0或b ＝ 4．

（3）