Question

已知函數f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.

（1）求函數f(x)的單調區間；

（2）若函數f(x)在區間(－2,0)內恰有兩個零點，求a的取值范圍；

（3）當a＝1時，設函數f(x)在區間[t，t＋3]上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)＝M(t)－m(t)，求函數g(t)在區間[－3，－1]上的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數f(x)的單調遞增區間是(－∞，－1)，(a，＋∞)；單調遞減區間是(－1，a)

（2）（3）

【解析】解：（1）f′(x)＝x²＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a).由f′(x)＝0，得x₁＝－1，x₂＝a＞0.

當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，－1)	－1	(－1，a)	a	(a，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?↗	極大值	↘?	極小值	?↗

故函數f(x)的單調遞增區間是(－∞，－1)，(a，＋∞)；單調遞減區間是(－1，a).

（2）由（1）知f(x)在區間(－2，－1)內單調遞增，在區間(－1,0)內單調遞減，從而函數f(x)在區間

(－2,0)內恰有兩個零點當且僅當

解得0＜a＜.

所以，a的取值范圍是.

（3）a＝1時，f(x)＝x³－x－1.由（1）知f(x)在[－3，－1]上單調遞增，在[－1,1]上單調遞減，在[1,2]上單調遞增.

①當t∈[－3，－2]時，t＋3∈[0,1]，－1∈[t，t＋3]，f(x)在[t，－1]上單調遞增，在[－1，t＋3]上單調遞減.因此，f(x)在[t，t＋3]上的最大值M(t)＝f(－1)＝－，而最小值m(t)為f(t)與f(t＋3)中的較小者.由

f(t＋3)－f(t)＝3(t＋1)(t＋2)知，當t∈[－3，－2]時，f(t)≤f(t＋3)，故m(t)＝f(t)，所以g(t)＝f(－1)－f(t).而f(t)在[－3，－2]上單調遞增，因此f(t)≤f(－2)＝－，所以g(t)在[－3，－2]上的最小值為g(－2)＝－－＝.

②當t∈[－2，－1]時，t＋3∈[1,2]，

且－1,1∈[t，t＋3].

下面比較f(－1)，f（1），f(t)，f(t＋3)的大小.

由f(x)在[－2，－1]，[1,2]上單調遞增，有

f(－2)≤f(t)≤f(－1).

f（1）≤f(t＋3)≤f（2）.

又由f（1）＝f(－2)＝－，f(－1)＝f（2）＝－，

從而M(t)＝f(－1)＝－，m(t)＝f（1）＝－，

所以g(t)＝M(t)－m(t)＝.

綜上，函數g(t)在區間[－3，－1]上的最小值為.