Question

已知拋物線y=x²+2x+b（x∈R）與坐標軸有三個交點，經過這三點的圓記為M．
（1）求實數b的取值范圍；
（2）設拋物線與x軸的交點從左到右分別為A、B，與y軸的交點為C，求A、B、C三點的坐標；
（3）設直線l是拋物線在點A處的切線，試判斷直線l是否也是圓M的切線？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先對實數b分等0和不等0兩種情況討論，再把與坐標軸有三個交點，轉化為與x軸有兩個不同的交點問題，利用判別式大于0即可求出實數b的取值范圍；
（2）先讓x=0求出點C的坐標，再令y=0求出對應方程的根即可求出點A、B的坐標；
（3）先求出圓M的方程以及直線l是的斜率，利用相切對應的斜率相乘為-1，解出實數b再與第一問相結合即可得出結論．

解答：解：（1）∵拋物線與坐標軸有三個交點
∴b≠0，否則拋物線與坐標軸只有兩個交點，與題設不符，
由b≠0知，拋物線與y軸有一個非原點的交點（0，b），
故拋物線與x軸有兩個不同的交點，即方程x²+2x+b=0有兩個不同的實根
∴△=4-4b＞0即b＜1
∴b的取值范圍是b＜0或0＜b＜（13分）
（2）令x=0得y=b，
∴C（0，b）（4分）
令y=0得x²+2x+b=0解得x=

-2± 4-4b

2

=-1±

1-b

∴A(-1-

1-b

，0)，B(-1+

1-b

，0)（6分）
（3）∵y=x²+2x+b
∴y'=2x+2
∴直線l的斜率kl=2(-1-

1-b

+1)=-2

1-b

（7分）
設圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
∵圓M過A(-1-

1-b

，0)，B(-1+

1-b

，0)，C（0，b）
∴

(-1- 1-b )2+D(-1- 1-b )+F=0 (-1+ 1-b )2+D(-1+ 1-b )+F=0 b2+Eb+F=0

解得

D=2 E=-(b+1) F=b

（10分）
∴圓心M(-1，

1+b

2

)（11分）
∴kMA=

1+b 2

1-b

=

1+b

2 1-b

，若直線l也是圓M的切線，
則k_l•k_MA=-1即-2

1-b

•

1+b

2 1-b

=-1?1+b=1解得b=0
這與b＜0或0＜b＜1矛盾（13分）
∴直線l不可能是圓M的切線．（14分）

點評：當一個拋物線開口向上或向下時，與坐標軸的交點問題就轉化為對應函數與坐標軸的交點問題．而一個函數與y軸最多有一個交點，就把問題簡單化了．