Question

對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導數(shù)y=f′（x）的導數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．有同學發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數(shù)都有‘拐點’；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；且‘拐點’就是對稱中心．”請你將這一發(fā)現(xiàn)為條件，函數(shù)f(x)=x3-

3

2

x2+3x-

1

4

，則它的對稱中心為

(

1

2

，1)

；計算f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f(

2012

2013

)=

2012

．

Answer 1

分析：①由于f（x）=x3-

3

2

x2+3x-

1

4

，f′（x）=3x²-3x+3，f″（x）=6x-3，由f″（x）=0可求得x=

1

2

，f（

1

2

）=1；
②設P（x₀，y₀）為曲線上任意一點，由于函數(shù)f(x)=x3-

3

2

x2+3x-

1

4

的對稱中心為 (

1

2

，1)，故點P關于(

1

2

，1)的對稱點P′（1-x₀，2-y₀）也在曲線上，于是有f（1-x₀）=2-y₀．從而可求值．

解答：解：①∵f（x）=x3-

3

2

x2+3x-

1

4

，
∴f′（x）=3x²-3x+3，f″（x）=6x-3，
由f″（x）=0得x=

1

2

，
f（

1

2

）=

1

8

-

3

2

×

1

4

+3×

1

2

-

1

4

=1；
∴它的對稱中心為(

1

2

，1)；
②設P（x₀，y₀）為曲線上任意一點，
∵曲線的對稱中心為 (

1

2

，1)；
∴點P關于(

1

2

，1)的對稱點P′（1-x₀，2-y₀）也在曲線上，
∴f（1-x₀）=2-y₀．
∴f（x₀）+f（1-x₀）=y₀+（2-y₀）=2．
∴f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f(

2012

2013

)=[f(

1

2013

)+f(

2012

2013

)]+[f(

2

2013

)+f(

2011

2013

)]+…+[f(

1006

2013

)+f(

1007

2013

)]=2×1006=2012．
故答案為：(

1

2

，1)；2012．

點評：本題考查實際問題中導數(shù)的意義，難點在于對“對稱中心”的理解與應用，特別是：f（x₀）+f（1-x₀）=2的分析與應用，屬于難題．