Question

已知F₁，F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左，右焦點，P是雙曲線的上一點，若

PF1

•

PF2

=0且|

PF1

|•|

PF2

|=3ab，則雙曲線的離心率是

 

．

Answer 1

分析：先根據向量積為0判斷兩直線垂直，進而根據勾股定理可知|

PF1

| 2+|

PF2

| 2=4c2，進而根據|

PF1

|•|

PF2

|=-

(| PF1 |-| PF2 |) 2-(| PF1 | 2+| PF2 |) 2

2

建立等式求得a和b的關系式，最后根據a，b和c的平方關系求得a和c的關系，求得離心率e．

解答：解：∵

PF1

•

PF2

=0
∴PF₁⊥PF₂
∴|

PF1

| 2+|

PF2

| 2=4c2
∴|

PF1

|•|

PF2

|=-

(| PF1 |-| PF2 |) 2-(| PF1 | 2+| PF2 |) 2

2

=

4c2-4a2

2

=3ab
整理求得b=

3

2

a，
∵a²+b²=c²，
∴

9a2

4

+a²=c²，
∴e=

13

2

故答案為：

13

2

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．考查了學生綜合分析問題和運算的能力．